使用MATLAB来模拟具体的模型，依次介绍：泊松过程，指数分布，生灭过程。
泊松分布
日常生活中，大量事件是有固定频率的。
- 某医院平均每小时出生3个婴儿
- 某公司平均每10分钟接到1个电话
- 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
- 某网站平均每分钟有2次访问
它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时会来3个顾客，请问下一个小时，会到来几个顾客？
有可能一下子来6个，也有可能一个都不来。这是我们没法知道的。
泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。
概率函数：
等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，假如要表示一小时内来3个顾客的概率，就表示为P(N(1) = 3) 。等号的右边，$\lambda$表示事件的频率。
接下来两个小时，一个顾客都不来的概率是0.25%，基本不可能发生。
接下来一个小时，至少到来两个顾客的概率是80%。
泊松分布的示意图，可以用MATLAB得到相应的结果，代码如下：
1 | clear; |
可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时到达3个顾客，这是最可能的结果，到达人数越多或越少，就越不可能。
指数分布
指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。
- 婴儿出生的时间间隔
- 来电的时间间隔
- 奶粉销售的时间间隔
- 网站访问的时间间隔
指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。
反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。
接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。
接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。
指数分布的MATLAB代码如下：
1 | clear; |
指数分布的图形大概是下面的样子。
可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生有3个顾客，上面已经算过了，下一个顾客间隔2小时才到来的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？
生灭过程
连续时间齐次马尔可夫链中一个特殊的分类，该分类过程状态的转移只允许从状态$j$到$j-1$或者$j+1$（如果这些状态存在）。这类随机过程非常适合描述队列中顾客的到达与离开过程，其中状态下标对应于等待服务的顾客数量。
具体的来说：如果在系统中的顾客数量为j，那么这个马尔可夫链就认为处于状态$j$。到达一个顾客，该过程转移到状态$j+1$，转移发生的速率为$q_{j,j+1}$。相对的顾客的离开使该过程从状态$j$移动到$j-1$，并且发生速率为$q_{j,j-1}$。具体公式
这两个式子为出生和死亡速率。这些速率可以是状态独立，但是由于该过程的齐次性，不能是时间独立的。同样根据定义，在状态$i$，对于除了取值$i,i+1,i-1$的所有$j$转移概率$q_{ij}$都为0。即：只有$q_{ii},q_{i,i+1},q_{i,i-1}$三个式子有取值，其余的式子取值均为0。另外根据以上的式子可以得出：
对于一个生灭过程，处于状态$j$有一个直观上的意义：人口数量为$j$，即排队系统中有$j$个顾客。一般来说，在状态$j$的时候，我们有一个顾客在接受服务并且有$j-1$个顾客在队列中等待服务。
生灭过程的平稳概率分布
因为生灭过程是一个各态历经的时间连续的马尔可夫链，它的平稳概率分布为：
用$π_j^*P_j$表示在状态$j$的平稳概率，并用以上的公式替代相关的变量可以得到以下的公式：
以矩阵形式表示，我们可以将前两个公式写为
其中
如果人口的规模有界限那么，这两个矩阵也是有限维的。定义$P(t)$如下：
最终可以将式子重写为：
矩阵Q被称为转移速率矩阵，研究生灭过程的第一步就是写出其Q矩阵。
注意到的是Q的对角线上的元素，即$q_{jj}$是离开状态$j$的概率值的负值。另外第$j$列中$q_{j-1,j}$比如($q_{01}$)，表示从状态$j-1$到状态$j$的速率，相应的$q_{j+1,j}$比如($q_{32}$)，表示从状态$j+1$到状态$j$的速率。其他所有的元素均为0。并且每一行所有元素加起来为0。