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MATLAB使用教程(八)

MATLAB
字数统计: 1.4k阅读时长: 5 min
2020/11/29 Share

做区块链的实验分析的时候，需要使用MATLAB做仿真实验。记录一下相关的教程。本文章转载至https://blog.csdn.net/qq_38431572

前言

在第本系列第六篇/)中，我们讲解了一下相对来讲最普通的不定积分和定积分的问题，相信大家对积分已经有了大概的了解了，可是仍有一些小问题，比如如何计算多个变量的积分，比如二重积分、甚至三重三重积分呢？本讲中，我将做详细讲解。

本期内容

首先复习一下一元的定积分、然后讲解二重积分，如果可能，讲解三重积分。

复习定积分

在之前，先复习一下之前学习的内容。使用MATLAB求解定积分的步骤大概如下：

  1. 定义符号变量（syms关键字）
  2. 定义内联函数（inline函数）
  3. 使用MATLAB内置函数进行计算定积分或者不定积分（使用int函数，具体求解定积分还是不定积分，根据参数的数量决定）

我们都知道：定积分是求解一个图形与坐标轴围成的面积。而今天我们需要深入理解一下：定积分是求解两条曲线之间围成的面积，如果只有一个公式，比如$x$，我们可以理解成 $y=x$ 这个函数减去了 $y=0$这个常数函数，或者说，上面函数与x轴围成的面积减去了下面函数与x轴围成的面积（并且这个面积在x轴上方是正的，下方是负的），这样我们就可以推广，假设我们现在有两条曲线，一个是$sinx$，一个是$e^x$ ,我们求在$0-\pi$的范围内，两个图形围成的面积，容易知道，两个图形大概是这样围起来的：

image-20201201103345829

PS: 上图的代码和讲解如下

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%% 目标图像
clc;clear all;  % 清除原先的东西
 
x = 0:0.01:pi;  % x的范围是0-pi，以0.01为一个小分割点细分出一个范围
y1 = sin(x);    % sinx
y2 = exp(x);    % e^x
 
figure;         % 弄一个figure的框体
hold on;        % 保持这个窗体，保证后面的内容都画在了上面，hold off解除
 
subplot(221);   % 开辟子窗体，221:共2行2列，里面的第一个
fill(x,y1,'r'); % 画图并填充颜色，变量是x，函数是y1，颜色是r，红色
title('y=sinx');% 设置标题，必需先fill，才能添加标题，否则会失败
 
subplot(222);   % 开辟子窗体，222，共2行2列，里面第二个
fill(x,y2,'b'); % b 蓝色
title('y=e^x');
 
subplot(223);   % 开辟子窗体，223，共2行2列，里面第三个
fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],'g');
                % 两个函数直接填充颜色，每一个方括号代表一个函数的内容
title('两个函数中间的部分');
hold off;

OK，那么我们就可以很容易的使用int()函数算出这样一个定积分，代码如下：

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%% 对上面的函数进行计算定积分
clear;clc;
syms x;
f = sym(exp(x) - sin(x));
res_int = int(f, x, 0, pi);
disp(res_int);

image-20201201103927338

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二重积分

关于二重积分的相关知识，大家自行下去学习吧。直接举出一个例子，假设底面如图所示（灰色阴影部分）：

image-20201201110030737

先积分x(Y型)时区域可表示为：$Dx=\{(x,y)|0<=y<=1, y<=x<=1\}$。

先积分y(X型)时区域可表示为：$Dy = \{(x,y)|0<=y<=x, 0<=x<=1\}$。

下面我们以X型为例，使用MATLAB计算曲面为$f(x,y) = xcos(y)$的曲顶柱体的体积：

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详细的代码以及注释见下方：

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%% 计算二重积分
clc;
clear all;
f = @(x,y)x.*cos(y); % 定义一个函数句柄，两个变量分别是x,y
% 这样定义函数句柄时，需要在所有的运算前加一个.（表示对应元素各自计算，不按照矩阵的规则）
ymax = @(x) x;  % 根据0<=y<=x处，右方的y=x反解出y，
res = integral2(f,0,1,0,ymax);
% 计算二重积分的函数 
% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)
disp(res);

最后，让我们欣赏一下这个曲面的形状吧：

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%% 看一看这个曲面吧
[x,y] = meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);
% 设置x和y的区间，以及细分程度
z = (x.*cos(y));  % 使用一个z来代表这个函数
mesh(x,y,z)  % 画出二维曲面图像
title('x*cos(y)')

今日小结

今天我们学到了如下的知识：

  1. 复习了之前学习的定积分、不定积分的内容
  2. 学习了二重积分的概念，以及应用的大概场景：求曲顶柱体体积，平面薄片质量（底面换位薄片，被积函数即薄片面密度的函数）等。
  3. 学会了如何在一个figure里面绘制多个图像
  4. 学会了如何在MATLAB中绘制图像、对目标区域填充颜色并命名标题
  5. 学会了怎么使用MATLAB的integral2计算二重积分
  6. 学会了怎么在MATLAB中声明（定义）一个函数句柄，或者说创建一个多元函数，以及怎么反解一个函数中某个变量（y = @(x) x ，此处函数是y=x），其实说白了，反解函数就是定义函数句柄。
  7. 学会了怎么在MATLAB中绘制二维曲面的图像。

原文作者：Sma11_Tim3

原文链接：http://yoursite.com/2020/11/29/MATLAB使用教程(八)/

发表日期：November 29th 2020, 8:35:51 pm

更新日期：December 1st 2020, 11:14:03 am

版权声明：本文采用知识共享署名-非商业性使用 4.0 国际许可协议进行许可

CATALOG
  1. 1. 前言
  2. 2. 本期内容
  3. 3. 复习定积分
    1. 3.1. 二重积分
  4. 4. 今日小结
Total : 41
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