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MATLAB使用教程(五)

MATLAB
字数统计: 1.8k阅读时长: 7 min
2020/11/29 Share

做区块链的实验分析的时候，需要使用MATLAB做仿真实验。记录一下相关的教程。本文章转载至https://blog.csdn.net/qq_38431572

前期回顾

在上期教程中，我们学习了下面的知识点：

  1. 如何声明、定义、调用函数（文件）。
  2. 给函数传递参数、接受函数的返回值。
  3. MATLAB中矩阵的简单使用和下标索引。
  4. 给我们代码模块化。
  5. MATLAB中for循环（遍历）的使用。
  6. 如何从一个文件调用另一个函数文件。

本期目标

在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解，特别是线性代数中，很经常遇见线性方程组的求解问题，今天就来用MATLAB来探讨线性方程组的求解问题。

正文

一般方程

一般来讲，我们看到的方程都是这个样式的：$ax=b$，其中$a、b$都是常数，很显然，这时候$x$的解就是$b/a$。

也就是说我们拿后面的值除以前面的系数，即可得到解$X$。

方程组（目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况）

刚刚我们讲的是一般方程，那推广到线性方程组，假设我们现在有个这样的方程：

相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案，但是，如果四阶？五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

根据线性代数的知识，我们可以得到这样一个增广矩阵：

那我们令系数矩阵是A，结果矩阵是B，这个解矩阵X该怎么算呢?

额外知识

此部分提供给还未学过线性代数的同学看，如果知道基本知识可以先行跳过。

上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程：

其中，令X为未知数的矩阵，前面的三乘三的系数矩阵称为A，等号右边的结果矩阵称为B，方程组即可表述为：

AX = B，求X。

矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式，因为当A的列数（这里是三列）等于X的行数（这里是三行）才能进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法运算是这样的：

易看出：如果A是 n 行 m 列，则X需要是 m 行 s 列才可相乘，且结果矩阵必是 n 行 s 列。

所以按照上面的运算法则，我们就可以看出，矩阵方程和原来的方程组是等价的。

回到正文

我们已经得到了方程组对应的矩阵方程$\left[ \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3\end{matrix} \right]$

那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码：

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%% 方程组求解
clc;
clear;
A = [4 1 -2;
     2 2  1;
     3 1 -1];
% 定义一个3行3列的矩阵A，行与行之间使用分号隔开，每一行之间的元素使用空格隔开
B = [1;
     2; 
     3]; %定义矩阵B
disp(A);disp(B); %显示A和B

现在我们便可以在程序中得到两个矩阵，分别是A和B，定义的时候也可以不换行，但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵：

image-20201130181920794

同样，我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量：

image-20201130184111771

还可以双击其名称查看详细的信息。

image-20201130184428190

现在，我们得到了两个矩阵，万事俱备，只欠东风，我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

现在在最后面加入这个代码：

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X = A\B;  % 左除
disp(X);

可能会有些人觉得奇怪，怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢？

如果我们学习过矩阵便知道，矩阵的乘法是没法前后调换的，即 AB 不等于 BA，也就是说，AX = B，要求这个X，我们需要在两边的左边同时除以A（严谨说法叫做乘以A的逆矩阵），即 1/A A X = 1/A B，也叫做左除，而在MATLAB中，左除符号就是这个“ \ ”符号，所以应这样使用，即 A \ B代表 1/A B（严谨来说，就是A的逆矩阵*B），即可得到X。

运行后我们便可看到解矩阵的结果：

image-20201130190216861

左除和右除

上面讲的是左除，下面我们来说说右除，也就是在右边乘以1/A（严谨说法叫做A的逆矩阵），那么这个方程组应该是这样的：

$XA=B$

如果A和B不变的话，对应的矩阵应该是这样的：

然后根据乘法的运算法则，可以发现，这个方程是没法解的（因为根本就没法乘，前面矩阵1列，后面矩阵3行，不相等，没法进行乘法运算）

所以，如果进行这样的乘法运算，我们需要把X的解矩阵变换（注意，变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样，不一样！）：

那么根据运算律，我们可以得到现在的方程组是：

那么这个X如何求呢？

根据原方程： XA = B，我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A（严谨来说是A的逆矩阵），即：

X A 1/A = B 1/A（左右千万不能放错） ==> X = B1/A

在代码中，右除是这样写的（注意代码改动，因为矩阵B变了）：

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11
%% 方程组求解,右除
clc;
clear;
A = [4 1 -2;
     2 2  1;
     3 1 -1];
% 定义一个3行3列的矩阵A，行与行之间使用分号隔开，每一行之间的元素使用空格隔开
B = [1 2 3]; %定义矩阵B
disp(A);disp(B); %显示A和B
X = B/A;  % 右除
disp(X);

然后运行：

image-20201130190914357

总结

今天我们学习了如下的知识：

  1. 在MATLAB中定义矩阵。
  2. 线性代数矩阵乘法运算、求解知识。
  3. 关于矩阵乘法左除、右除的区别。
  4. 在MATLAB中求解两种矩阵方程的方法。

by Covteam-Sma11_Tim3

生活不易，多才多艺。

原文作者：Sma11_Tim3

原文链接：http://yoursite.com/2020/11/29/MATLAB使用教程(五)/

发表日期：November 29th 2020, 8:35:00 pm

更新日期：December 1st 2020, 10:20:35 am

版权声明：本文采用知识共享署名-非商业性使用 4.0 国际许可协议进行许可

CATALOG
  1. 1. 前期回顾
  2. 2. 本期目标
  3. 3. 正文
    1. 3.1. 一般方程
    2. 3.2. 方程组（目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况）
    3. 3.3. 额外知识
    4. 3.4. 回到正文
    5. 3.5. 左除和右除
  4. 4. 总结
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